Care este formula termenului general la progresia aritmetică?

aₙ = a₁ + (n−1)·d, unde a₁ este primul termen și d este rația. Exemplu: a₁=2, d=3 → al 5-lea termen este 2 + 4·3 = 14.

Cum se calculează suma unei progresii aritmetice?

Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 = n/2·(2a₁ + (n−1)d). Exemplu: suma primelor 10 numere naturale (a₁=1, d=1): S₁₀ = 10·(1+10)/2 = 55.

Care este formula la progresia geometrică?

Termenul general: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Suma: Sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1) pentru q≠1, sau Sₙ = n·a₁ când q=1.

Care e diferența dintre progresia aritmetică și geometrică?

La progresia aritmetică, fiecare termen se obține ADUNÂND rația d la precedentul (creștere liniară). La cea geometrică, fiecare termen se obține ÎNMULȚIND cu rația q (creștere/descreștere exponențială).

Calculator Activ

Calculator Progresii (Șiruri)

Calculează termenul de rang n și suma primilor n termeni pentru progresii aritmetice (a₁, d) și geometrice (a₁, q), cu formule și primii termeni.

Fără server Instant Privat Gratuit

Despre ce este acest instrument?

Calculatorul de progresii determină termenul de rang n și suma primilor n termeni, pentru progresii aritmetice (rație constantă d) și geometrice (rație constantă q). Afișează formulele aplicate și primii termeni. Util pentru clasa a IX-a și bacalaureat.

Cum să folosești Calculator Progresii (Șiruri)?

Tipul progresiei

Aritmetică (cu d) sau geometrică (cu q).
a₁, rația, n

Primul termen, rația și numărul de termeni.
Rezultate

Termenul aₙ, suma Sₙ, formulele și primii termeni.

Când ai nevoie de el?

Bacalaureat

Probleme cu șiruri din clasa a IX-a și de la bac.
Economii

Depuneri constante (aritmetică) sau dobândă compusă (geometrică).
Creștere

Modelarea creșterii liniare sau exponențiale.
Sume rapide

Suma primilor n termeni fără adunare manuală.

Despre progresii (șiruri)

O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă (rația d): 2, 5, 8, 11, … (d=3). Termenul general este aₙ = a₁ + (n−1)d, iar suma primilor n termeni Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

O progresie geometrică este un șir în care raportul dintre doi termeni consecutivi este constant (rația q): 3, 6, 12, 24, … (q=2). Termenul general este aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, iar suma Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1) pentru q≠1. Progresiile sunt fundamentale în analiza matematică, finanțe (dobândă compusă) și modelarea creșterii.

Calculator Progresii Aritmetice și Geometrice – Termen și Sumă

Calculatorul de progresii determină termenul de rang n și suma primilor n termeni, pentru progresii aritmetice și geometrice.

Progresia aritmetică

Un șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă (rația $d$ ):

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Suma primilor n termeni:

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Exemplu: $a_{1} = 2$ , $d = 3$ . Al 5-lea termen: $a_{5} = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ . Suma primilor 5: $S_{5} = \frac{5 ( 2 + 14 )}{2} = 40$ .

Progresia geometrică

Un șir în care raportul dintre doi termeni consecutivi este constant (rația $q$ ):

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Suma primilor n termeni (pentru $q \neq = 1$ ):

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Exemplu: $a_{1} = 3$ , $q = 2$ . Al 4-lea termen: $a_{4} = 3 \cdot 2^{3} = 24$ . Suma primilor 4: $S_{4} = 3 \cdot \frac{2 ^{4} - 1}{2 - 1} = 45$ .

Aritmetică vs. geometrică

Caracteristică	Aritmetică	Geometrică
Operație	adunare (+d)	înmulțire (×q)
Termen general	a₁ + (n−1)d	a₁·qⁿ⁻¹
Creștere	liniară	exponențială
Exemplu	2, 5, 8, 11…	3, 6, 12, 24…

Aplicații practice

Economii: depuneri lunare constante (aritmetică) sau capital cu dobândă compusă (geometrică).
Creștere: modelarea creșterii liniare sau exponențiale a unui fenomen.
Matematică: probleme de șiruri din clasa a IX-a și de la bacalaureat.

Întrebări frecvente

Răspunsurile detaliate (termen general, suma, progresie geometrică, diferența dintre tipuri) sunt afișate în secțiunea de întrebări frecvente de pe această pagină.

Instrumente similare

Calculator combinatorică — factorial, permutări, combinări
Ecuații exponențiale — rezolvare cu logaritmi
Calculator procente — creșteri și raporturi

Întrebări frecvente

: aₙ = a₁ + (n−1)·d, unde a₁ este primul termen și d este rația. Exemplu: a₁=2, d=3 → al 5-lea termen este 2 + 4·3 = 14.
: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 = n/2·(2a₁ + (n−1)d). Exemplu: suma primelor 10 numere naturale (a₁=1, d=1): S₁₀ = 10·(1+10)/2 = 55.
: Termenul general: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Suma: Sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1) pentru q≠1, sau Sₙ = n·a₁ când q=1.
: La progresia aritmetică, fiecare termen se obține ADUNÂND rația d la precedentul (creștere liniară). La cea geometrică, fiecare termen se obține ÎNMULȚIND cu rația q (creștere/descreștere exponențială).

Despre ce este acest instrument?

Cum să folosești Calculator Progresii (Șiruri)?

Tipul progresiei

a₁, rația, n

Rezultate

Când ai nevoie de el?

Bacalaureat

Economii

Creștere

Sume rapide

Despre progresii (șiruri)

Calculator Progresii Aritmetice și Geometrice – Termen și Sumă

Progresia aritmetică

Progresia geometrică

Aritmetică vs. geometrică

Aplicații practice

Întrebări frecvente

Instrumente similare

Întrebări frecvente

Instrumente similare