Calculator Cerc

Cercul este probabil cea mai studiată figură geometrică din matematică. Definit ca locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix (centrul), are o singură măsură primară (raza) din care derivă toate celelalte: diametru, perimetru, arie.

Definiții și notații

• Centrul O — punctul fix.
• Raza r — distanța comună de la centru la orice punct de pe cerc.
• Diametrul d = 2r — coarda care trece prin centru.
• Coarda — segment care unește două puncte de pe cerc.
• Arcul — porțiune de cerc între două puncte.
• Tangenta — dreapta care atinge cercul într-un singur punct, perpendiculară pe rază.

Formulele de bază

Diametrul

Perimetrul (circumferința)

Aria

Numărul π

π (pi) ≈ 3,14159 26535 89793… este o constantă irațională. Iraționalitatea sa a fost demonstrată de Lambert în 1761, iar transcendentă de Lindemann în 1882 — rezolvând definitiv problema veche de 2.000 de ani a cuadraturii cercului (imposibilă cu rigla și compasul).

Pentru calcule școlare:

• 3,14 — aproximare uzuală
• 3,1416 — bacalaureat
• 22/7 ≈ 3,143 — aproximare medievală
• 355/113 ≈ 3,141593 — surprinzător de precisă

Sectorul circular

Sectorul este zona delimitată de două raze și arcul dintre ele (forma de «felie de tort»).

Lungimea arcului

Cu unghiul central α în grade:

Cu α în radiani:

Aria sectorului

Cu α în grade:

Cu α în radiani:

Segmentul de cerc

Segmentul este zona dintre un arc și coarda corespunzătoare (forma de «coajă»). Aria sa se obține scăzând triunghiul format din cele două raze:

unde α este în radiani.

Exemple rezolvate

Exemplu 1: aria și perimetrul unui cerc cu r = 7 cm

Exemplu 2: găsește raza dacă A = 314 cm²

Exemplu 3: sector cu r = 6 cm, α = 60°

Tabel — corespondențe rapide între r, d, P, A

Tabel util pentru estimări mentale și verificare rapidă pe șantier:

Truc rapid: dublu diametru → arie de 4 ori mai mare (din $A=\pi r^2$, raza crește la dublu). Pizza de 40 cm = 4 × pizza de 20 cm! Atenție la prețuri: o pizza familială (40 cm) la 80 RON e mai economică decât 4 pizze mici (20 cm) la 25 RON fiecare = 100 RON.

Tabel — sectoare și segmente la r = 10

Pentru un cerc cu raza 10 (orice unitate), iată valorile clasice:

Cercul în context geometric

Cercul circumscris unui poligon

Pentru un poligon regulat cu $n$ laturi de lungime $a$, raza cercului circumscris este:

Exemple:

• Triunghi echilateral ($n=3$): $R=a/\sqrt{3}$.
• Pătrat ($n=4$): $R=a\sqrt{2}/2$ (jumătate din diagonală).
• Hexagon ($n=6$): $R=a$ (raza = latura — proprietate remarcabilă).

Cercul înscris

Raza cercului înscris într-un poligon regulat:

Triunghi dreptunghic & cerc

Proprietatea fundamentală: într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris, iar raza este jumătate din ipotenuză (vezi articolul Triunghi dreptunghic).

Aceasta e cunoscută ca teorema lui Thales: dacă un punct $P$ se află pe un cerc cu diametrul $AB$, atunci unghiul $\widehat{APB}=90°$.

Lungimea arcului — derivare din unghi

Formula pentru unghi în grade

Formula pentru unghi în radiani

Conversie rapidă: $1\text{ rad}=180°/\pi \approx 57,30°$. Pentru a converte un unghi din grade în radiani: ${\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grade}}\cdot \pi /180$. Vezi și Convertor radiani-grade.

Probleme rezolvate pas cu pas

Exemplul 1 — pizza Hanul lui Manuc

O pizza din meniul Hanul lui Manuc are diametrul 32 cm. Câți cm² de pizza primești?

Exemplul 2 — terenul circular din Bărăgan

Un fermier din Bărăgan dorește să iriguie un teren circular cu pivot central. Pivotul are 250 m. Cât teren irigă?

Perimetrul gardului: $P=2\pi \cdot 250\approx 1571$ m.

Exemplul 3 — Arena Națională, București

Pista de atletism de la Arena Națională are raza interioară 36,5 m la curbe. Care e lungimea unei curbe (semicerc, 180°)?

Pista de atletism standard IAAF are 400 m totală, cu 2 curbe (~ 230 m) și 2 linii drepte (~ 170 m).

Exemplul 4 — sector pentru tort

Tăiem un tort rotund cu diametrul 28 cm în 8 felii egale. Care e aria unei felii și lungimea „crustei” (arcul exterior)?

• Raza: $r=14$ cm.
• Unghi felie: $\alpha =360°/8=45°$.
• Arie felie: $A=(45/360)\cdot \pi \cdot 14^2=(\pi \cdot 196)/8\approx 76,97$ cm².
• Arc: $\ell =(45/360)\cdot 2\pi \cdot 14\approx 11,00$ cm.

Exemplul 5 — fereastra rotundă (oculus)

O fereastră rotundă (de tip „oculus”) la o vilă în Predeal are diametrul 80 cm. Câtă suprafață de geam și cât profil metalic se cumpără pentru ramă?

• Suprafață geam: $A=\pi \cdot 40^2=5026,55$ cm² ≈ 0,503 m².
• Lungime profil ramă (perimetru): $P=\pi \cdot 80\approx 251,33$ cm.

Exemplul 6 — cisternă cilindrică (volumul folosește aria circulară)

O cisternă de apă pentru o casă din Bran are raza interioară 1,2 m și înălțimea 3 m. Câți litri încape?

Aplicații practice — ghid RO

Construcții și design

• Bolți, arcade, fereastră circulară (oculus) — în arhitectura mănăstirilor moldovenești (Voroneț, Sucevița, Putna), arcadele se calculează pe bază de sectoare circulare.
• Plan teren circular — în zonele agricole (Bărăgan, Câmpia de Vest), terenurile irigate cu pivot central sunt cercuri perfecte vizibile pe hartă.
• Bazine și fântâni — fântâni publice (Piața Universității, București), volum apă pentru bazine de înot rotunde.

Inginerie auto & cauciucuri RO

Cauciucuri auto disponibile la Vianor, Continental, Cordiant — diametrul total se calculează din eticheta tip „205/55 R16”:

• 205 = lățime banda (mm)
• 55 = înălțime profil (% din lățime)
• R16 = diametru jantă (inch)

Diametru total: $d=16\cdot 25,4+2\cdot 0,55\cdot 205=406,4+225,5=631,9$ mm. Circumferință: $P=\pi \cdot 631,9\approx 1985$ mm. La 1 km parcurs, roata face $1000000/1985\approx 504$ rotații.

Bucătărie

• Pizza & tort: suprafața crește cu pătratul razei. Pizza de 40 cm = 4 pizze de 20 cm.
• Tigaie & wok: alegerea diametrului = aria de gătire utilă.
• Tava de pâine rotundă (diametru 25 cm): $A=\pi \cdot 12,5^2\approx 491$ cm² — suprafață de coacere.

Sport — pista atletism, terenuri, mingi

• Pista de atletism standard IAAF — 400 m, cu 2 semicercuri de raze între 36,5 și 38 m.
• Cercul central fotbal (Arena Națională) — raza 9,15 m, arie $\approx 263$ m².
• Cercul de aruncări atletism (greutate, disc, ciocan) — diametru 2,135 m.
• Mingea de fotbal — circumferința 68–70 cm (FIFA), raza ~ 11 cm.

Astronomie — orbite circulare

Aproximarea orbitelor planetare ca cercuri:

• Raza orbitei Pământului ≈ 149,6 milioane km (1 UA).
• Perimetru: $P=2\pi \cdot 149,6\cdot 10^6\approx 940$ milioane km/an.
• Viteza Pământului: $940/365,25\approx 2,57$ milioane km/zi ≈ 107 270 km/h.

Curiozități despre π

• Iraționalitate: demonstrată de Lambert (1761) — π nu se poate scrie ca raport de două întregi.
• Transcendență: demonstrată de Lindemann (1882) — π nu este rădăcina niciunei ecuații polinomiale cu coeficienți raționali. Aceasta a rezolvat problema veche de 2 000 de ani a cuadraturii cercului (imposibilă cu rigla și compasul).
• Babilonienii foloseau aproximarea $\pi \approx 3$ (sau $25/8=3,125$).
• Arhimede (~250 î.Hr.) a calculat $223/71<\pi <22/7$ folosind poligoane înscrise/circumscrise cu 96 laturi.
• Zhu Chongzhi (China, sec. V) a obținut $\pi \approx 355/113$ — corect la 7 zecimale, recordul timp de 800 de ani.
• Calcule moderne: în 2022, Google Cloud a calculat π cu 100 trilioane de cifre.
• 3,14159… — primele 6 cifre sunt suficiente pentru a calcula circumferința Pământului cu eroare < 1 cm.

Tabel π — diferite aproximări

Greșeli frecvente

1. $A=2\pi r$ (greșit) — confuzia cu perimetrul. Aria are $r^2$, perimetrul are $r$.
2. Diametrul în loc de rază în formule — verifică ÎNTOTDEAUNA dacă datele sunt rază sau diametru. Diferență: factor 2 (sau 4 la arie).
3. Sector în grade vs. radiani — formulele sunt diferite după unitate. Pentru calcul rapid, păstrează-te cu gradele; la BAC clasa a XI-a se cer adesea radiani.
4. Aproximare cu 3,14 când e nevoie de 3,1416 — la subiecte de bacalaureat unde se cere precizie, aproximarea grosieră dă răspuns greșit.
5. Confuzia perimetru cu lungime arc — perimetrul cercului ÎNTREG e $2\pi r$; lungimea unui arc parțial e proporțională cu unghiul.
6. Calcul aria sector cu unghi în radiani fără ajustare — pentru radiani: $A=r^2\alpha /2$, NU $A=(\alpha /360)\cdot \pi r^2$.

Surse și referințe

• Cerc – Wikipedia — definiție și proprietăți matematice.
• Pi – Wolfram MathWorld — istoric și calculul lui π.
• Programa BAC RO — clasa a VII-a (introducere cerc), a IX-a (cercul în plan), a XI-a (radiani și sectoare).

Calculatoare conexe

• Triunghi dreptunghic — cercul circumscris triunghiului dreptunghic.
• Funcții trigonometrice — pentru calculul lungimilor în sectoare.
• Convertor radiani-grade — conversia necesară pentru formulele cu unghi.
• Calculator dreptunghi — diagonala dreptunghiului folosește Pitagora.