Care sunt valorile sin pentru unghiurile uzuale?

sin(0°)=0, sin(30°)=1/2, sin(45°)=√2/2 ≈ 0,707, sin(60°)=√3/2 ≈ 0,866, sin(90°)=1, sin(180°)=0, sin(270°)=−1.

De ce tan(90°) este nedefinit?

tan α = sin α / cos α. La 90° avem cos(90°)=0, deci împărțim la zero — nedefinit. Geometric, dreapta tangentă devine paralelă cu axa Ox.

Cum convertesc grade în radiani?

Înmulțești cu π/180. Exemplu: 60° × π/180 = π/3 rad ≈ 1,047 rad. Invers: rad × 180/π pentru grade.

Ce este cercul trigonometric?

Cercul de rază 1 centrat în origine. Pentru un unghi α măsurat de la axa Ox, punctul de pe cerc are coordonatele (cos α, sin α). Vizual ajută la înțelegerea valorilor și semnelor.

Care e formula fundamentală a trigonometriei?

sin²α + cos²α = 1, valabilă pentru orice α. Provine direct din teorema lui Pitagora aplicată în cercul unitate.

Calculator Funcții Trigonometrice – sin, cos, tan, cot online

Funcțiile trigonometrice — sinus (sin), cosinus (cos), tangentă (tan) și cotangentă (cot) — sunt instrumentele de bază ale trigonometriei. Inițial definite ca rapoarte între laturile unui triunghi dreptunghic, ele au fost extinse la orice unghi prin cercul trigonometric.

Definițiile în triunghiul dreptunghic

Pentru un unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic:

sin α = \frac{cateta opus a ˘}{ipotenuz a ˘}, cos α = \frac{cateta al a ˘ turat a ˘}{ipotenuz a ˘}

tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{cateta opus a ˘}{cateta al a ˘ turat a ˘}, cot α = \frac{1}{tan α}

Cercul trigonometric

Cercul de rază 1 centrat în origine permite extinderea funcțiilor la orice α (negativ, peste 90°, peste 360°). Pentru un punct P pe cerc la unghi α față de Ox:

P = (cos α, sin α)

Sin este proiecția pe Oy, cos este proiecția pe Ox.

Tabelul valorilor uzuale

Aceste valori sunt obligatorii la bacalaureat:

Unghi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radiani	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0	−1	0
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0	−1	0	1
tan	0	√3/3	1	√3	∞	0	∞	0

Formula fundamentală

Cea mai importantă identitate trigonometrică:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Provine direct din teorema lui Pitagora aplicată în cercul de rază 1: triunghiul format din rază, proiecție pe Ox și proiecție pe Oy are catetele cos α, sin α și ipotenuza 1.

Periodicitatea

Funcțiile trigonometrice sunt periodice:

sin (α + 2 π) = sin α, cos (α + 2 π) = cos α

tan (α + π) = tan α, cot (α + π) = cot α

Sin și cos au perioada 2π (un cerc complet), iar tan și cot au perioada π (jumătate de cerc).

Formulele sumelor

Foarte utile la bacalaureat și la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

Formulele duplului unghi

sin (2 α) = 2 sin α cos α

cos (2 α) = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

Funcții inverse: arcsin, arccos, arctan

Pentru a găsi unghiul când cunoști valoarea funcției:

α = arcsin (x), α = arccos (x), α = arctan (x)

Domeniile de definiție: arcsin și arccos acceptă x ∈ [−1, 1]; arctan acceptă orice x real.

Exemplu rezolvat: ecuație trigonometrică

Rezolvă sin x = √3/2.

Din tabel, sin 60° = √3/2. Soluțiile generale:

x = 60° + k \cdot 360° sau x = 120° + k \cdot 360°, k \in Z

A doua soluție vine din simetria sin(180° − α) = sin α: sin 120° = sin 60°.

Cele 4 cadrane — semnele funcțiilor

În cercul trigonometric, cele 4 cadrane sunt definite de axele Ox și Oy. Semnele funcțiilor diferă în fiecare cadran:

Cadran	Interval	$sin α$	$cos α$	$tan α$	$cot α$
I	$0° - 90°$	+	+	+	+
II	$90° - 180°$	+	−	−	−
III	$180° - 270°$	−	−	+	+
IV	$270° - 360°$	−	+	−	−

Truc memorare RO: „Toate Sunt Teribil de Culte” — în cadranul I sunt Toate pozitive, în II doar Sinus, în III doar Tangenta, în IV doar Cosinus.

Reducere la cadranul I

Orice unghi se poate reduce la un unghi din cadranul I, păstrând semnul corect:

sin (180° - α) = sin α, cos (180° - α) = - cos α

sin (180° + α) = - sin α, cos (180° + α) = - cos α

sin (360° - α) = - sin α, cos (360° - α) = cos α

Exemplu: $sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2$ .

Identități trigonometrice fundamentale

Identitatea pitagoreică

Cea mai importantă identitate, demonstrată din $x^{2} + y^{2} = 1$ pe cercul unitar:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Variante derivate (împărțind cu $cos^{2}$ respectiv $sin^{2}$ ):

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} = sec^{2} α

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α} = csc^{2} α

Reciproce

csc α = \frac{1}{sin α}, sec α = \frac{1}{cos α}, cot α = \frac{1}{tan α}

Identități complementare (90° - α)

sin (90° - α) = cos α, cos (90° - α) = sin α

tan (90° - α) = cot α, cot (90° - α) = tan α

Identități pentru unghi negativ (paritate)

Sinus și tangenta sunt funcții impare: $sin (- α) = - sin α$ , $tan (- α) = - tan α$ .
Cosinus este funcție pară: $cos (- α) = cos α$ .

Aplicație: dacă știi $sin 30° = 0, 5$ , atunci $sin (- 30°) = - 0, 5$ , dar $cos 30° = cos (- 30°) = 3 /2$ .

Formulele sumelor și diferențelor

Pentru sin și cos

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Truc memorare BAC: „SiCo + CoSi” pentru $sin (α + β)$ . Pentru $cos$ , semnul e invers la sumă: „CoCo − SiSi”.

Pentru tangenta

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}

Aplicație rapidă — sin 75°

sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0, 9659

Formulele unghiului dublu

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α}

Formulele coborârii puterii (utile la integrale BAC)

Din formulele unghiului dublu se obține:

sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}, cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}

Formulele unghiului triplu

sin 3 α = 3 sin α - 4 sin^{3} α

cos 3 α = 4 cos^{3} α - 3 cos α

tan 3 α = \frac{3 tan α - tan ^{3} α}{1 - 3 tan ^{2} α}

Transformare sumă ↔ produs

Foarte utile la simplificarea expresiilor și la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:

Sumă în produs

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

Produs în sumă

sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]

cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]

sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)]

Periodicitate

Funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile se repetă după un anumit interval.

Funcție	Perioadă	Notație
$sin α$	$2 π$ (360°)	$sin (α + 2 π k) = sin α$
$cos α$	$2 π$ (360°)	$cos (α + 2 π k) = cos α$
$tan α$	$π$ (180°)	$tan (α + π k) = tan α$
$cot α$	$π$ (180°)	$cot (α + π k) = cot α$

Graficele funcțiilor trigonometrice

Sinus

Periodă: $2 π$
Domeniul valorilor: $[- 1, 1]$
Zerouri: $0, π, 2 π, \dots$ (multipli de $π$ )
Maxim: $sin α = 1$ , la $α = π /2 + 2 π k$
Minim: $sin α = - 1$ , la $α = 3 π /2 + 2 π k$
Simetrie: funcție impară, $sin (- α) = - sin α$ (graficul simetric față de origine)

Cosinus

Periodă: $2 π$
Domeniul valorilor: $[- 1, 1]$
Zerouri: $π /2, 3 π /2, 5 π /2, \dots$
Maxim: $cos α = 1$ , la $α = 0 + 2 π k$
Minim: $cos α = - 1$ , la $α = π + 2 π k$
Simetrie: funcție pară, $cos (- α) = cos α$ (graficul simetric față de Oy)

Observație: $cos$ este graficul lui $sin$ deplasat la stânga cu $π /2$ . Adică $cos α = sin (α + π /2)$ .

Tangenta

Periodă: $π$
Domeniul valorilor: $(- \infty, + \infty)$
Zerouri: $0, π, 2 π, \dots$
NU are maxim/minim — tinde la $\pm \infty$ lângă asimptote.
Asimptote verticale: la $α = π /2 + π k$ , unde $cos α = 0$ .
Simetrie: funcție impară, $tan (- α) = - tan α$ .

Tabel comparativ

Funcție	Perioadă	Domeniu valorilor	Zerouri	Notă
$sin α$	$2 π$	$[- 1, 1]$	$k π$	Hullam, impar
$cos α$	$2 π$	$[- 1, 1]$	$π /2 + k π$	Defazat, par
$tan α$	$π$	$R$	$k π$	Cu asimptote, impar
$cot α$	$π$	$R$	$π /2 + k π$	Cu asimptote, impar

Funcțiile inverse: arcsin, arccos, arctan

Pentru a găsi unghiul când cunoști valoarea funcției trigonometrice.

Arcsin (sinusul invers)

arcsin (x) = α \Leftrightarrow sin α = x

Domeniu de definiție: $x \in [- 1, 1]$
Codomeniu (unghi): $α \in [- π /2, π /2]$ , adică $[- 90°, 90°]$
Funcție: strict crescătoare, simetrică față de origine

Exemplu: $arcsin (0, 5) = π /6 = 30°$ .

Arccos (cosinusul invers)

arccos (x) = α \Leftrightarrow cos α = x

Domeniu de definiție: $x \in [- 1, 1]$
Codomeniu: $α \in [0, π]$ , adică $[0°, 180°]$
Funcție: strict descrescătoare

Exemplu: $arccos (0, 5) = π /3 = 60°$ .

Arctan (tangenta inversă)

arctan (x) = α \Leftrightarrow tan α = x

Domeniu de definiție: $x \in R$ (orice număr real)
Codomeniu: $α \in (- π /2, π /2)$ , adică $(- 90°, 90°)$
Funcție: strict crescătoare, cu asimptote orizontale la $\pm π /2$

Exemplu: $arctan (1) = π /4 = 45°$ .

Tabel-sinteza funcțiilor inverse

Funcție inversă	Notație	Domeniu (intrare $x$ )	Codomeniu (unghi $α$ )	Exemplu
Arcsinus	$arcsin x$	$[- 1, 1]$	$[- π /2, π /2]$	$arcsin (0, 5) = 30°$
Arccosinus	$arccos x$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$	$arccos (0, 5) = 60°$
Arctangentă	$arctan x$	$R$	$(- π /2, π /2)$	$arctan (1) = 45°$

⚠️ Atenție: funcțiile inverse returnează DOAR rezultatul principal (pe domeniul de bază). Dar o ecuație $sin α = 0, 5$ are infinit de soluții (datorită periodicității). Soluția generală este: $α = 30° + 360° k$ sau $α = 150° + 360° k$ , $k \in Z$ . Calculatorul va da DOAR $30°$ .

Ecuații trigonometrice — strategii și exemple

Ecuații elementare

Tipul 1: $sin x = a$ (cu $∣ a ∣ \leq 1$ ).

Soluție generală:

x \in {α + 2 π k} \cup {π - α + 2 π k}, k \in Z

unde $α = arcsin a$ .

Exemplu: $sin x = 2 /2 \Rightarrow x \in {π /4 + 2 π k} \cup {3 π /4 + 2 π k}$ .

Tipul 2: $cos x = a$ (cu $∣ a ∣ \leq 1$ ).

x = \pm arccos a + 2 π k, k \in Z

Exemplu: $cos x = 1/2 \Rightarrow x = \pm π /3 + 2 π k$ .

Tipul 3: $tan x = a$ (oricare $a$ real).

x = arctan a + π k, k \in Z

Ecuații cu transformare

Exemplu BAC: $sin x + cos x = 1$ .

Folosim formula sumei: $sin x + cos x = 2 sin (x + π /4)$ . Ecuația devine:

2 sin (x + π /4) = 1 \Rightarrow sin (x + π /4) = \frac{2}{2}

Soluții: $x + π /4 = π /4 + 2 π k$ sau $x + π /4 = 3 π /4 + 2 π k$ → $x = 2 π k$ sau $x = π /2 + 2 π k$ .

Ecuații pătratice în trig

Exemplu: $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ .

Substituție $t = cos x$ : $2 t^{2} - t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$ sau $t = - 1/2$ .

$cos x = 1 \Rightarrow x = 2 π k$ .
$cos x = - 1/2 \Rightarrow x = \pm 2 π /3 + 2 π k$ .

Probleme rezolvate pas cu pas

Problema 1 — Înălțimea unui copac din Apuseni

Un brad din pădurea Apuseni proiectează o umbră de 12 m la prânz. Soarele are înălțimea 65° față de orizont. Care e înălțimea bradului?

Triunghi dreptunghic cu cateta orizontală = umbra (12 m), cateta verticală = h, unghi 65° de la orizontală.

tan 65° = \frac{h}{12} \Rightarrow h = 12 \cdot tan 65° \approx 12 \cdot 2, 1445 \approx 25, 73 m

Problema 2 — Scara la fereastră

O scară de 5 m e sprijinită de un perete sub un unghi de 60° față de sol. La ce înălțime atinge peretele?

h = 5 \cdot sin 60° = 5 \cdot \frac{3}{2} \approx 4, 33 m

Problema 3 — Pârtia de schi din Sinaia

Pârtia Carp are o cădere de 200 m verticală pe o lungime totală pe pantă de 800 m. Care e unghiul de înclinare?

sin α = \frac{200}{800} = 0, 25 \Rightarrow α = arcsin 0, 25 \approx 14, 48°

Problema 4 — Demonstrație BAC: identitate trigonometrică

Demonstrați că $sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x$ .

Pornim de la $(sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} = 1^{2}$ :

sin^{4} x + 2 sin^{2} x cos^{2} x + cos^{4} x = 1

Rearanjăm:

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x ■

Problema 5 — Ecuația $2 sin^{2} x = 1$ pe $[0, 2 π]$

$sin^{2} x = 1/2 \Rightarrow sin x = \pm 2 /2$ .

Soluții pe $[0, 2 π]$ : $x \in {π /4, 3 π /4, 5 π /4, 7 π /4}$ .

Problema 6 — Aria triunghiului oarecare

Un triunghi are laturile $a = 8$ , $b = 10$ și unghiul dintre ele $C = 75°$ . Care e aria?

Formula trigonometrică a ariei:

T = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot sin 75°

$sin 75° \approx 0, 9659$ , deci $T \approx 38, 64$ unități pătrate.

Problema 7 — Teorema sinusurilor (BAC clasa a IX-a)

În orice triunghi cu laturile $a, b, c$ și unghiurile opuse $A, B, C$ :

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

unde $R$ = raza cercului circumscris.

Aplicație: într-un triunghi, $a = 7$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ . Calculează $b$ .

b = a \cdot \frac{sin B}{sin A} = 7 \cdot \frac{sin 45°}{sin 30°} = 7 \cdot \frac{2 /2}{1/2} = 72 \approx 9, 90

Problema 8 — Teorema cosinusurilor

Pentru orice triunghi:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Generalizează teorema lui Pitagora pentru triunghi NEdreptunghic.

Aplicație: triunghi cu $a = 6$ , $b = 8$ , unghi $C = 60°$ . Calculează $c$ .

c^{2} = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos 60° = 100 - 48 = 52

c = 52 = 213 \approx 7, 21

Aplicații în fizică, inginerie și viața de zi cu zi

Mișcare oscilatorie armonică

Pendulul, arcurile, vibrațiile struni — toate urmează ecuația:

x (t) = A sin (ω t + φ)

unde:

$A$ = amplitudine (deplasarea maximă)
$ω = 2 π f$ = pulsația (rad/s)
$f$ = frecvență (Hz)
$φ$ = faza inițială

Exemplu — pendul de ceas: un pendul de 0,5 m oscilează cu perioada $T = 2 π L / g \approx 1, 42$ s.

Curent alternativ — electricitate în RO

Curentul electric din priză (RO: 230 V, 50 Hz) urmează:

i (t) = I_{m a x} sin (2 π f t) = I_{m a x} sin (100 π t)

Tensiunea: $U (t) = U_{m a x} sin (2 π f t)$ , cu $U_{m a x} = 2302 \approx 325$ V (vârf), $U_{RMS} = 230$ V (efectiv).

Unde sonore și lumina

Sunet: muzicieni acordează la 440 Hz (LA standard). Un instrument cu această frecvență produce o undă sinusoidală în aer.

ψ (x, t) = A cos (k x - ω t)

Lumină vizibilă: spectrul electromagnetic 380–750 nm — toate sunt unde sinusoidale cu lungimi de undă diferite.

Animații grafice 2D & 3D

În programarea jocurilor (Unity, Unreal Engine, Godot), rotațiile se calculează cu matrici trigonometrice:

(x^{'} y^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (x y)

Fourier — descompunere în armonice

Orice funcție periodică se poate scrie ca sumă de sin și cos (seria Fourier). Folosit la:

Compresia audio (MP3, Opus) — păstrează doar primele armonice.
Compresia imaginilor (JPEG) — DCT (Discrete Cosine Transform).
Telecomunicații — modulație, demodulație, antene.

Triangulații GPS

Sistemele GPS utilizează formule trigonometrice pe sferă (geometria sferică) pentru a calcula poziția dintr-un set de distanțe la sateliți.

Astronomie — magnitudinea unei stele pe cerul RO

Calculul magnitudinii unei stele (înălțimea ei deasupra orizontului) folosește formula trigonometrică:

sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos t

unde:

$h$ = înălțimea stelei deasupra orizontului
$φ$ = latitudine geografică observator
$δ$ = declinația stelei
$t$ = unghi orar

Exemplu — Sirius la București: latitudine București $φ = 44, 43°$ , declinație Sirius $δ = - 16, 7°$ , la momentul culminării $t = 0$ :

sin h = sin (44, 43°) sin (- 16, 7°) + cos (44, 43°) cos (- 16, 7°) cos 0°

= 0, 700 \cdot (- 0, 287) + 0, 714 \cdot 0, 958 \cdot 1 = - 0, 201 + 0, 684 = 0, 483

h = arcsin 0, 483 \approx 28, 9°

Sirius se vede la maxim 28,9° deasupra orizontului din București — relativ jos pe cer (ca toate stelele din emisfera sudică observate din emisfera nordică).

Construcții — pante de drumuri și acoperișuri în RO

Panouri rutiere RO: indicatorul „pantă 7%” înseamnă $tan α = 0, 07 \Rightarrow α \approx 4, 0°$ . Pe DN1 Sinaia–Bușteni se găsesc pante de 7-9%.

Acoperișuri tradiționale: în Apuseni și Maramureș, acoperișurile au pante de 30-45° (pentru evacuarea zăpezii) → tan = 0,577–1.

Optică — refracția luminii

Legea lui Snell:

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

Folosită la design de lentile (ochelari, telescoape), proiectoare laser, fibre optice.

Navigație — bisectoare și triunghiuri pe hartă

Pentru a determina direcția (azimutul) de la un punct la altul pe hartă, folosești:

tan (azimut) = \frac{Δ E}{Δ N}

unde $Δ E$ și $Δ N$ sunt diferențele de longitudine și latitudine (în km).

Curiozități și istorie

Cuvântul „trigonometrie” vine din greacă: trigōnon (triunghi) + metron (măsurare).
Cuvântul „sinus” vine din latină — sinus (sân, golf). A fost o traducere greșită din arabă (jiba → jaib).
Hipparchus din Niceea (~150 î.Hr.) a creat primele tabele trigonometrice pentru astronomie.
Ptolemeu (~150 d.Hr.) a completat aceste tabele în cartea Almagest, folosite 1400 de ani.
Aryabhata (~500 d.Hr.) — primul matematician indian care a definit sin (ardha-jya = jumătate de coardă).
Cele 6 funcții trigonometrice (sin, cos, tan, cot, sec, csc) au fost sistematizate complet de Abū al-Wafā’ (~975 d.Hr.) la Bagdad.
Leonhard Euler (1748) — a introdus notația modernă cu funcții și formula remarcabilă $e^{i α} = cos α + i sin α$ .
Babylonienii (sec. XX î.Hr.) — au împărțit cercul în 360° (probabil pentru că anul are ~360 zile).

Cercul trigonometric — privire de ansamblu

Cele 12 puncte „cardinale” ale cercului trigonometric pe care e bine să le memorezi pentru BAC:

Unghi	Radiani	$(cos α, sin α)$
0°	0	(1, 0)
30°	$π /6$	$(3 /2, 1/2)$
45°	$π /4$	$(2 /2, 2 /2)$
60°	$π /3$	$(1/2, 3 /2)$
90°	$π /2$	(0, 1)
120°	$2 π /3$	$(- 1/2, 3 /2)$
135°	$3 π /4$	$(- 2 /2, 2 /2)$
150°	$5 π /6$	$(- 3 /2, 1/2)$
180°	$π$	(−1, 0)
270°	$3 π /2$	(0, −1)
360°	$2 π$	(1, 0)

Truc memorare BAC: la 30°, 45°, 60° valorile sin sunt $1 /2, 2 /2, 3 /2$ (scriem 1, 2, 3 sub radical — la 0° e $0 /2 = 0$ și la 90° e $4 /2 = 1$ ). Pentru cos, ordinea inversă.

Calcule mentale rapide

Aproximări utile

$sin 1° \approx 0, 0175$ (≈ $π /180$ — pentru unghiuri mici, $sin α \approx α$ în radiani)
$sin 30° = 0, 5$ exact
$sin 45° \approx 0, 707$
$sin 60° \approx 0, 866$
$sin 90° = 1$ exact
$tan 45° = 1$ exact

Aproximare unghiuri mici

Pentru $α < 10°$ (sau $< π /18$ rad):

sin α \approx α (\overset{ı}{ˆ} n radiani), cos α \approx 1, tan α \approx α

Exemplu: $sin 5° \approx 5 \cdot π /180 \approx 0, 0873$ (real: 0,0872 — eroare 0,1%).

Greșeli frecvente la BAC

Calculator în mod greșit (DEG vs. RAD) — verifică ÎNTOTDEAUNA indicatorul DEG sau RAD înainte de a calcula. La BAC se folosește implicit DEG, dar la calcul de integrale ai nevoie de RAD.
$sin^{2} α$ scris ca $sin (α^{2})$ — sunt LUCRURI DIFERITE. $sin^{2} α = (sin α)^{2} = sin α \cdot sin α$ .
$arcsin (2)$ = ? — domeniul lui $arcsin$ este $[- 1, 1]$ . $arcsin (2)$ NU există în reali.
Periodicitate greșită — $tan$ și $cot$ au perioada $π$ (NU $2 π$ , ca sin și cos).
Confuzia perioada vs. amplitudine — pentru $sin (2 x)$ , perioada e $π$ (nu $2 π$ ). Pentru $sin (x /2)$ , perioada e $4 π$ .
Semn greșit la unghiuri în cadranul II/III/IV — folosește regula „Toți Sunt Teribil de Culți” pentru semne corecte.
Adunare procente trig — $sin (α + β) \neq = sin α + sin β$ . Trebuie folosită formula sumei.
Confuzia $cot$ cu $1/ tan$ peste tot — atenție la $tan = 0$ , unde $cot$ tinde la infinit.

Tabel de valori — funcții trigonometrice de la 0° la 90°

Unghi	sin α	cos α	tan α	cot α
0°	0	1	0	∞
5°	0,0872	0,9962	0,0875	11,43
10°	0,1736	0,9848	0,1763	5,671
15°	0,2588	0,9659	0,2679	3,732
20°	0,3420	0,9397	0,3640	2,747
25°	0,4226	0,9063	0,4663	2,145
30°	0,5	0,8660	0,5774	1,732
35°	0,5736	0,8192	0,7002	1,428
40°	0,6428	0,7660	0,8391	1,192
45°	0,7071	0,7071	1	1
50°	0,7660	0,6428	1,192	0,8391
55°	0,8192	0,5736	1,428	0,7002
60°	0,8660	0,5	1,732	0,5774
65°	0,9063	0,4226	2,145	0,4663
70°	0,9397	0,3420	2,747	0,3640
75°	0,9659	0,2588	3,732	0,2679
80°	0,9848	0,1736	5,671	0,1763
85°	0,9962	0,0872	11,43	0,0875
90°	1	0	∞	0

Notă: valorile pentru unghiuri 91°–180° se obțin folosind $sin (180° - α) = sin α$ , $cos (180° - α) = - cos α$ , etc.

Surse și referințe

Trigonometrie – Wikipedia — fundamente matematice și istorice.
Trigonometric Functions – Wolfram MathWorld — tratare avansată cu derivări complete.
Programa BAC RO — clasa a IX-a (introducere triunghi dreptunghic), a X-a (cercul trigonometric), a XI-a (ecuații trigonometrice).
Manuale BAC M1/M2 (autori M.O. Tatomir, M. Ganga, M. Burtea).

Calculatoare conexe

Triunghi dreptunghic — calcul complet din 6 combinații de date.
Convertor radiani-grade — conversia unităților de măsură.
Calculator cerc — pentru sectoare circulare cu unghi.
Calculator dreptunghi — pentru calcul diagonală cu Pitagora.
Calculator ecuație de gradul II — pentru ecuații pătratice în trig (substituție).

Despre ce este acest instrument?

Cum să folosești Calculator Funcții Trigonometrice?

Alege unitatea

Introdu unghiul

Citește cele 4 funcții

Când ai nevoie de el?

Bacalaureat M1/M2

Geometrie analitică

Fizică (oscilații, unde)

Programare grafică

Despre funcțiile trigonometrice

Funcții trigonometrice – sin, cos, tan, cot cu cerc trigonometric