Probleme de matematică – Clasa a XII-a

Anul Bacalaureatului — structuri algebrice, polinoame și integrale.

Liceu Bacalaureat 13 probleme rezolvate

Clasa a XII-a este anul Bacalaureatului. La matematică se studiază structurile algebrice (legi de compoziție, grupuri, inele, corpuri), polinoamele și, în analiză, primitivele și integrala definită, cu aplicații la calculul ariilor.

Integralele reprezintă adesea subiectul III de la Bacalaureat, iar structurile algebrice apar la subiectul II. Problemele de mai jos acoperă exact aceste tipuri, cu rezolvări complete pentru o pregătire eficientă.

📚 Teme (5) · Clasa a XII-a

✏️ Probleme rezolvate pe teme

Primitive 3 probleme

  1. Mediu

    Aflați o primitivă a funcției f(x) = 3x² + 2x.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim regula .
    2. ∫(3x² + 2x) dx = 3 · x³/3 + 2 · x²/2 + C.
    3. = x³ + x² + C.
    4. Verificare: (x³ + x²)′ = 3x² + 2x. ✓

    Răspuns: F(x) = x³ + x² + C

  2. Mediu

    Aflați o primitivă a funcției f(x) = cos x.

    Vezi rezolvarea
    1. Căutăm o funcție F cu F ′(x) = cos x.
    2. Deoarece (sin x)′ = cos x, avem ∫cos x dx = sin x + C.

    Răspuns: F(x) = sin x + C

  3. Mediu

    Aflați o primitivă a funcției f(x) = 4x³ − 6x + 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Integrăm termen cu termen: ∫(4x³ − 6x + 5) dx = 4·x⁴/4 − 6·x²/2 + 5x + C.
    2. = x⁴ − 3x² + 5x + C.

    Răspuns: F(x) = x⁴ − 3x² + 5x + C

Integrala definită 4 probleme

  1. Mediu

    Calculați integrala definită a funcției 2x pe intervalul [0, 2].

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă a lui 2x este x².
    2. Aplicăm formula Leibniz–Newton: .
    3. = 4 − 0 = 4.

    Răspuns: 4

  2. Ușor

    Calculați integrala funcției constante 1 pe intervalul [1, 4].

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă a funcției constante 1 este x.
    2. [x] de la 1 la 4 = 4 − 1 = 3.
    3. (Geometric, este aria dreptunghiului de lățime 3 și înălțime 1.)

    Răspuns: 3

  3. Mediu

    Calculați ∫ de la 1 la 2 din (2x + 1) dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă a lui 2x + 1 este x² + x.
    2. .
    3. = 6 − 2 = 4.

    Răspuns: 4

  4. Mediu

    Calculați ∫ de la 0 la 1 din eˣ dx.

    Vezi rezolvarea
    1. O primitivă a lui eˣ este eˣ.
    2. .
    3. ≈ 2,718 − 1 = 1,718.

    Răspuns: e − 1 ≈ 1,718

Aria subgraficului 2 probleme

  1. Dificil

    Aflați aria subgraficului funcției f(x) = x², între x = 0 și x = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria subgraficului unei funcții pozitive este .
    2. O primitivă a lui x² este x³/3.
    3. A = [x³/3] de la 0 la 3 = 3³/3 − 0 = 27/3 = 9.

    Răspuns: 9 (unități de arie)

  2. Dificil

    Calculați aria subgraficului funcției f(x) = x³ pe intervalul [0, 2].

    Vezi rezolvarea
    1. . O primitivă a lui x³ este x⁴/4.
    2. A = 2⁴/4 − 0 = 16/4 = 4.

    Răspuns: 4

Polinoame 2 probleme

  1. Mediu

    Fie P(x) = x³ − 2x² + x − 6. Calculați P(3) și stabiliți dacă x = 3 este rădăcină.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim x = 3: P(3) = 3³ − 2·3² + 3 − 6.
    2. = 27 − 2·9 + 3 − 6 = 27 − 18 + 3 − 6 = 6.
    3. Deoarece P(3) = 6 ≠ 0, x = 3 nu este rădăcină a polinomului.

    Răspuns: P(3) = 6; x = 3 nu este rădăcină

  2. Mediu

    Aflați restul împărțirii polinomului P(x) = x³ + 2x − 3 la (x − 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema restului: restul împărțirii la (x − a) este P(a). Aici a = 1.
    2. P(1) = 1³ + 2·1 − 3 = 1 + 2 − 3 = 0.
    3. Restul este 0 (deci x = 1 este rădăcină, iar x − 1 divide P).

    Răspuns: restul = 0

Structuri algebrice 2 probleme

  1. Dificil

    Pe mulțimea numerelor reale se definește legea x ∗ y = x + y − 3. Aflați elementul neutru al legii.

    Vezi rezolvarea
    1. Elementul neutru e satisface x ∗ e = x pentru orice x real.
    2. Scriem condiția: x + e − 3 = x.
    3. Reducem x din ambii membri: e − 3 = 0, deci e = 3.
    4. Verificare: x ∗ 3 = x + 3 − 3 = x. ✓

    Răspuns: e = 3

  2. Dificil

    Pe ℤ se definește legea x ∗ y = x + y + 2. Arătați că este comutativă și aflați simetricul lui 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Comutativitate: x ∗ y = x + y + 2 = y + x + 2 = y ∗ x. ✓
    2. Elementul neutru e: x + e + 2 = x ⇒ e = −2.
    3. Simetricul x′ al lui 3: 3 + x′ + 2 = −2 ⇒ x′ = −7.
    4. Verificare: 3 ∗ (−7) = 3 + (−7) + 2 = −2 = e. ✓

    Răspuns: comutativă; simetricul lui 3 este −7

❓ Întrebări frecvente – Clasa a XII-a