Probleme de matematică – Clasa a XI-a

Matrici, determinanți și începutul analizei matematice (limite, derivate).

Liceu 13 probleme rezolvate

Clasa a XI-a are două mari direcții: algebra liniară (matrici, determinanți, sisteme de ecuații rezolvate cu regula lui Cramer) și analiza matematică (limite de șiruri și de funcții, continuitate, derivate și studiul funcțiilor).

Derivatele și studiul monotoniei/extremelor sunt printre cele mai importante instrumente din liceu și revin masiv la Bacalaureat. Problemele de mai jos acoperă atât partea de algebră liniară, cât și primii pași în analiză.

📚 Teme (6) · Clasa a XI-a

✏️ Probleme rezolvate pe teme

Determinanți 2 probleme

  1. Mediu

    Calculați determinantul matricei A = ( (2, 3), (1, 4) ).

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru o matrice 2×2, .
    2. det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 8 − 3 = 5.

    Răspuns: 5

  2. Dificil

    Calculați determinantul de ordinul 3, cu regula lui Sarrus, pentru matricea cu liniile (1, 2, 0), (0, 1, 3), (2, 0, 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Sarrus — diagonalele principale: 1·1·1 + 2·3·2 + 0·0·0 = 1 + 12 + 0 = 13.
    2. Diagonalele secundare: 0·1·2 + 1·3·0 + 2·0·1 = 0.
    3. Determinantul = 13 − 0 = 13.

    Răspuns: 13

Matrici 2 probleme

  1. Mediu

    Calculați produsul matricelor ( (1, 2), (0, 1) ) · ( (3), (4) ).

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim linia cu coloana. Prima linie: 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11.
    2. A doua linie: 0 · 3 + 1 · 4 = 0 + 4 = 4.
    3. Rezultatul este matricea coloană ( (11), (4) ).

    Răspuns: ( (11), (4) )

  2. Mediu

    Fie A = ( (1, 2), (3, 4) ) și B = ( (0, 1), (2, 1) ). Calculați A + 2B.

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim B cu scalarul 2: 2B = ( (0, 2), (4, 2) ).
    2. Adunăm element cu element: A + 2B = ( (1+0, 2+2), (3+4, 4+2) ).
    3. = ( (1, 4), (7, 6) ).

    Răspuns: ( (1, 4), (7, 6) )

Limite 2 probleme

  1. Mediu

    Calculați limita: lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).

    Vezi rezolvarea
    1. Prin înlocuire directă obținem 0/0 — caz de nedeterminare.
    2. Factorizăm numărătorul: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
    3. Simplificăm cu (x − 2): (pentru x ≠ 2).
    4. lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4.

    Răspuns: 4

  2. Mediu

    Calculați: lim(x→∞) (3x² + 2x)/(x² − 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x² (puterea dominantă): (3 + 2/x)/(1 − 1/x²).
    2. Când x → ∞, termenii 2/x și 1/x² tind la 0.
    3. Limita = 3/1 = 3.

    Răspuns: 3

Derivate 3 probleme

  1. Mediu

    Calculați derivata funcției f(x) = x³ − 3x² + 2x − 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm termen cu termen, folosind (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹.
    2. (x³)′ = 3x²; (3x²)′ = 6x; (2x)′ = 2; derivata constantei este 0.
    3. f ′(x) = 3x² − 6x + 2.

    Răspuns: f ′(x) = 3x² − 6x + 2

  2. Mediu

    Calculați derivata funcției f(x) = (2x + 1)(x − 3).

    Vezi rezolvarea
    1. Desfacem produsul: f(x) = 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3.
    2. Derivăm: f ′(x) = 4x − 5.

    Răspuns: f ′(x) = 4x − 5

  3. Dificil

    Aflați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x² în punctul de abscisă x₀ = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Punctul de tangență: f(2) = 4, deci (2, 4).
    2. Panta tangentei este derivata în x₀: f ′(x) = 2x, deci m = f ′(2) = 4.
    3. Tangenta: y − y₀ = m(x − x₀) ⇒ y − 4 = 4(x − 2) ⇒ y = 4x − 4.

    Răspuns: y = 4x − 4

Studiul funcțiilor 3 probleme

  1. Dificil

    Aflați punctul de extrem al funcției f(x) = x² − 6x + 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm derivata: f ′(x) = 2x − 6.
    2. Punctele critice: f ′(x) = 0 → 2x − 6 = 0 → x = 3.
    3. Derivata a doua f ″(x) = 2 > 0, deci în x = 3 avem un punct de minim.
    4. Valoarea minimă: f(3) = 3² − 6·3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4.

    Răspuns: punct de minim în (3 ; −4)

  2. Mediu

    Studiați monotonia funcției f(x) = x² − 4x folosind derivata.

    Vezi rezolvarea
    1. f ′(x) = 2x − 4.
    2. f ′(x) = 0 ⇒ x = 2.
    3. Pentru x < 2, f ′(x) < 0 (descrescătoare); pentru x > 2, f ′(x) > 0 (crescătoare).

    Răspuns: descrescătoare pe (−∞, 2), crescătoare pe (2, ∞)

  3. Dificil

    Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției f(x) = x³ − 3x.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima derivată: f ′(x) = 3x² − 3. A doua derivată: f ″(x) = 6x.
    2. f ″(x) = 0 ⇒ x = 0.
    3. Pentru x < 0, f ″ < 0 → concavă; pentru x > 0, f ″ > 0 → convexă. Punct de inflexiune în x = 0.

    Răspuns: concavă pe (−∞, 0), convexă pe (0, ∞); inflexiune în 0

Sisteme (Cramer) 1 problemă

  1. Dificil

    Rezolvați cu regula lui Cramer sistemul: 2x + y = 5 și x − y = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Determinantul sistemului: Δ = 2·(−1) − 1·1 = −2 − 1 = −3.
    2. Δₓ (înlocuim coloana lui x cu termenii liberi): 5·(−1) − 1·1 = −5 − 1 = −6, deci x = Δₓ/Δ = −6/−3 = 2.
    3. Δ_y (înlocuim coloana lui y): 2·1 − 5·1 = 2 − 5 = −3, deci y = Δ_y/Δ = −3/−3 = 1.
    4. Verificare: 2·2 + 1 = 5 și 2 − 1 = 1. ✓

    Răspuns: x = 2, y = 1

❓ Întrebări frecvente – Clasa a XI-a