Care este formula pentru rădăcinile ecuației de gradul II?

x = (−b ± √Δ) / (2a), unde Δ = b² − 4ac este discriminantul.

Ce înseamnă discriminant negativ?

Δ < 0 înseamnă că ecuația nu are rădăcini reale, ci două rădăcini complex conjugate de forma α ± βi.

Cum se rezolvă x² − 5x + 6 = 0?

a=1, b=−5, c=6. Δ = 25 − 24 = 1. x₁ = (5+1)/2 = 3, x₂ = (5−1)/2 = 2.

Ce înseamnă rădăcină dublă?

Când Δ = 0, ecuația are o singură soluție repetată: x = −b/(2a). Geometric, parabola atinge axa Ox într-un singur punct (vârful).

Calculator Ecuație de Gradul II – ax² + bx + c = 0 cu pași

Ecuația de gradul al doilea este forma ax² + bx + c = 0, cu a ≠ 0. Este una dintre cele mai studiate ecuații în matematică și apare frecvent la Bacalaureat (M1, M2), la Evaluarea Națională și în problemele aplicative din fizică (cinematică, traiectorii) și inginerie.

Formula generală

Soluțiile (rădăcinile) ecuației sunt date de formula:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

unde Δ (discriminantul) este:

Δ = b^{2} - 4 a c

Cele 3 cazuri în funcție de Δ

Δ > 0 — două rădăcini reale distincte

Parabola intersectează axa Ox în două puncte diferite.

x_{1} = \frac{- b + Δ}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - Δ}{2 a}

Δ = 0 — rădăcină dublă

Parabola atinge axa Ox într-un singur punct (vârful parabolei).

x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}

Δ < 0 — două rădăcini complex conjugate

Parabola NU intersectează axa Ox. Rădăcinile sunt numere complexe de forma α ± βi.

x_{1, 2} = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}

Exemplu rezolvat: x² − 5x + 6 = 0

Date: a = 1, b = −5, c = 6.

Pasul 1. Calculăm discriminantul:

Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

Pasul 2. Δ > 0, deci avem două rădăcini reale distincte:

x_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3

x_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2

Pasul 3. Verificare cu relațiile lui Viète:

x₁ + x₂ = 3 + 2 = 5 și −b/a = 5 ✓
x₁ · x₂ = 3 · 2 = 6 și c/a = 6 ✓

Relațiile lui Viète

Foarte utile la verificare sau la descompunere mintală:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Pentru ecuația x² − 7x + 12 = 0: caut două numere care se adună la 7 și au produsul 12 → 3 și 4. Direct: x₁ = 3, x₂ = 4.

Cazuri particulare (ecuații incomplete)

Caz A: b = 0 → ax² + c = 0

x^{2} = - \frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm - \frac{c}{a}

Exemplu: x² − 9 = 0 → x = ±3.

Caz B: c = 0 → ax² + bx = 0

Factorizare:

x (a x + b) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a}

Exemplu: 2x² − 6x = 0 → 2x(x − 3) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 3.

Reprezentarea grafică

Parabola y = ax² + bx + c are:

Vârf la xᵥ = −b / (2a), yᵥ = −Δ / (4a)
Direcție de deschidere: în sus dacă a > 0, în jos dacă a < 0
Intersecție cu Oy la (0, c)
Intersecție cu Ox: rădăcinile reale (dacă există)

Tabel cu cazuri tipice și valori uzuale

Următorul tabel îți arată cum se schimbă natura rădăcinilor în funcție de coeficienți. E util la BAC pentru intuiție rapidă:

a	b	c	Δ	Rădăcini ( $x_{1}, x_{2}$ )	Tipul rădăcinilor
1	-3	2	1	$x_{1} = 2, x_{2} = 1$	Două rădăcini reale distincte
1	-5	6	1	$x_{1} = 3, x_{2} = 2$	Două rădăcini reale distincte
1	-2	1	0	$x = 1$ (dublă)	Rădăcină dublă
2	-4	2	0	$x = 1$ (dublă)	Rădăcină dublă
1	0	4	-16	$x = \pm 2 i$	Rădăcini complex conjugate
1	0	-9	36	$x = \pm 3$	Reale, ecuație incompletă (b=0)
1	5	6	1	$x_{1} = - 2, x_{2} = - 3$	Reale negative (Viète: prod>0, sumă<0)
1	-1	-6	25	$x_{1} = 3, x_{2} = - 2$	Reale, semne opuse (c<0)

Truc Viète pentru BAC: dacă $a = 1$ , caută două numere cu suma $- b$ și produsul $c$ . Pentru $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ → cauți două numere cu suma 5, produs 6 → 2 și 3. Funcționează în 80% din cazurile întâlnite la examen.

Levezarea formulei generale (forma canonică)

Pentru cei care vor să înțeleagă DE UNDE vine formula, iată derivarea pas cu pas — apare la BAC M1 ca subiect de demonstrație. Pornim de la:

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

Pasul 1. Împărțim la $a$ :

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

Pasul 2. Mutăm termenul liber:

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

Pasul 3. Completăm pătratul perfect adunând $(\frac{b}{2 a})^{2}$ în ambii membri:

x^{2} + \frac{b}{a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}

Pasul 4. Membrul stâng e un pătrat perfect:

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}

Pasul 5. Extragem rădăcina pătrată:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Pasul 6. Izolăm $x$ :

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

QED. Această formă se numește formula canonică sau formula de rezolvare a ecuației de gradul II.

Forma canonică (forma de vârf) — perspectivă geometrică

Orice trinom de gradul II se poate rescrie sub forma canonică:

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

De aici se citește direct vârful parabolei:

V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})

Exemplu: pentru $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ :

$x_{V} = 8/ (2 \cdot 2) = 2$
$Δ = 64 - 40 = 24$
$y_{V} = - 24/ (4 \cdot 2) = - 3$
Vârful: $V (2, - 3)$ .

Aplicație: la BAC M1 problemele „determinați minimul/maximul funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ” se rezolvă în 2 secunde dacă recunoști formula vârfului. Minimul (când $a > 0$ ) sau maximul (când $a < 0$ ) este $y_{V}$ .

Aplicații practice

Cinematică — căderea liberă a unui corp

Un corp lansat de la înălțimea $h_{0}$ cu viteză inițială $v_{0}$ în sus are înălțimea la momentul $t$ :

h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{g}{2} t^{2}

unde $g \approx 9, 81 m/s^{2}$ . Întrebarea „când atinge solul ( $h = 0$ )?” devine o ecuație de gradul II în $t$ .

Exemplu: o piatră aruncată de pe Castelul Bran (h₀ = 30 m) cu viteza inițială 5 m/s în sus. Când ajunge la sol?

0 = 30 + 5 t - 4, 905 t^{2}

$Δ = 25 + 4 \cdot 4, 905 \cdot 30 = 613, 6$ , $Δ \approx 24, 77$ .

t = \frac{- 5 + 24 , 77}{- 9 , 81} \approx 2, 99 s

(Rădăcina negativă — $t \approx - 2, 03$ s — se ignoră, fiind înainte de aruncare.)

Geometrie — probleme cu arii BAC

Lungimea unui dreptunghi este cu 2 m mai mare decât lățimea, iar aria este de 35 m². Determinați dimensiunile.

Notează lățimea cu $x$ . Atunci lungimea = $x + 2$ și:

x (x + 2) = 35 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 35 = 0

$Δ = 4 + 140 = 144$ , $Δ = 12$ . $x_{1, 2} = (- 2 \pm 12) /2 = 5$ sau $- 7$ .

Dimensiunea fizică e pozitivă, deci lățime = 5 m, lungime = 7 m. Verificare: $5 \times 7 = 35$ ✓.

Optimizare — vârful parabolei

Un fermier din Banat are 200 m de gard pentru a închide un teren dreptunghiular. Care e aria maximă posibilă?

Lungime + lățime = 100 (jumătate din perimetru). Dacă $L = x$ , atunci $l = 100 - x$ .
Arie: $A (x) = x (100 - x) = - x^{2} + 100 x$ .
Vârful: $x_{V} = - 100/ (- 2) = 50$ → maxim la $x = 50$ .
Aria maximă: $A (50) = 50 \cdot 50 = 2500$ m² (un pătrat de 50×50).

Concluzie: dintre toate dreptunghiurile cu perimetru fix, pătratul are aria maximă.

Fizică — energie cinetică și viteză

Un corp de masă $m = 2$ kg are energia cinetică $E_{c} = 36$ J. Care este viteza?

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow 36 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^{2}

Rezultă $v^{2} = 36$ → $v = \pm 6$ m/s. Viteza fizică este pozitivă, deci $v = 6$ m/s. (Cele două rădăcini reflectă cele două direcții posibile — înainte/înapoi.)

Finanțe — IRR cu două cash-flow-uri

Investești 10 000 RON. Primești după 1 an 5 500 RON și după 2 ani 5 500 RON. Care este IRR-ul?

Notează $1 + r = u$ . NPV = 0:

- 10000 + \frac{5 500}{u} + \frac{5 500}{u ^{2}} = 0

Înmulțim cu $u^{2}$ și rearanjăm:

10000 u^{2} - 5500 u - 5500 = 0

Împărțim la 500: $20 u^{2} - 11 u - 11 = 0$ . $Δ = 121 + 880 = 1001 \approx 31, 64$ . $u = (11 + 31, 64) /40 \approx 1, 066$ . Deci IRR ≈ 6,6% pe an.

Relațiile lui Viète — utilizare avansată

Pentru ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ cu rădăcini $x_{1}, x_{2}$ :

S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Construcția unei ecuații cu rădăcini date

Dacă vrei o ecuație cu rădăcini $x_{1}$ și $x_{2}$ cunoscute, e simplu:

x^{2} - S x + P = 0

Exemplu: ecuația cu rădăcini 4 și -3:

$S = 4 + (- 3) = 1$
$P = 4 \cdot (- 3) = - 12$
Ecuație: $x^{2} - x - 12 = 0$

Calcul de expresii fără a determina rădăcinile

La BAC apare frecvent: „dacă $x_{1}, x_{2}$ sunt rădăcinile ecuației …, calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ”. Răspunsul fără rezolvare:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = S^{2} - 2 P

Exemplu: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ → $S = 7, P = 10$ → $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 49 - 20 = 29$ .

Alte formule utile:

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P}$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S$
$∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{Δ}{∣ a ∣}$

Probleme tip BAC — rezolvate complet

Problema 1 — clasa a IX-a

Determinați $m \in R$ astfel încât ecuația $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 4 = 0$ să aibă rădăcini reale.

Condiția: $Δ \geq 0$ .

Δ = 4 (m + 1)^{2} - 4 (m^{2} + 4) = 4 m^{2} + 8 m + 4 - 4 m^{2} - 16 = 8 m - 12

$Δ \geq 0 \Leftrightarrow 8 m \geq 12 \Leftrightarrow m \geq 3/2$ .

Răspuns: $m \in [3/2, + \infty)$ .

Problema 2 — clasa a X-a

Pentru ce valori ale lui $m$ ecuația $x^{2} - m x + (m - 1) = 0$ are două rădăcini reale pozitive?

Trei condiții:

$Δ \geq 0$ : $m^{2} - 4 (m - 1) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow (m - 2)^{2} \geq 0$ — adevărat $\forall m$ .
$S > 0$ (sumă pozitivă): $m > 0$ .
$P > 0$ (produs pozitiv): $m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$ .

Răspuns: $m \in (1, + \infty)$ .

Problema 3 — Bacalaureat Mate-Info

Rezolvați în $C$ ecuația $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ .

$Δ = 16 - 52 = - 36 < 0$ → rădăcini complex conjugate.

x_{1, 2} = \frac{4 \pm - 36}{2} = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i

Răspuns: $x_{1} = 2 + 3 i$ , $x_{2} = 2 - 3 i$ .

Greșeli frecvente la BAC

Uiți semnul lui $b$ în formula $- b$ : dacă $b = - 5$ , atunci $- b = + 5$ , NU $- 5$ . Cea mai des întâlnită eroare la simulare.
Eroare la $4 a c$ : $Δ = b^{2} - 4 a c$ , NU $b^{2} - 4 a + c$ sau $b^{2} - 4 (a + c)$ . Înmulțești pe rând.
Confuzie semn $Δ$ pentru ecuație incompletă: $x^{2} + 9 = 0$ are $Δ = - 36 < 0$ → fără rădăcini reale. NU „ $x = \pm 3$ ”.
Rădăcină dublă confundată cu „o singură rădăcină”: la $Δ = 0$ , scriem $x_{1} = x_{2} = - b / (2 a)$ , nu $x = - b / (2 a)$ singur. Formal sunt două rădăcini egale.
Confuzia ecuație vs. inecuație: $x^{2} - 4 < 0$ NU se rezolvă cu formula rădăcinilor, ci prin tabel de semne după ce afli rădăcinile $\pm 2$ .
Coeficient $a = 0$ : dacă $a = 0$ , NU mai e gradul II! Devine ecuație de gradul I ( $b x + c = 0$ ). Verifică întotdeauna $a \neq = 0$ la început.
Rotunjire prematură: dacă $Δ = 17$ , calculezi $17 \approx 4, 12$ — păstrează măcar 4 zecimale dacă nu poți lăsa exact $17$ .

Context istoric

Soluționarea ecuațiilor de gradul II a fost cunoscută de babilonieni (cca. 1700 î.Hr.) — tăblițe cu probleme echivalente cu $x^{2} + b x = c$ . Al-Khwarizmi (cca. 820 d.Hr.) a sistematizat metoda completării pătratului — de aici vine cuvântul „algebră” (din al-jabr). Formula generală $x = (- b \pm Δ) / (2 a)$ în forma sa modernă apare la René Descartes (1637, La Géométrie).

În România, ecuația de gradul II este parte din programa clasei a IX-a (M1, M2) și apare consistent la subiectul al II-lea la BAC matematică-info din ultimii 15 ani.

Surse și referințe

Programa școlară RO clasa a IX-a, ecuații de gradul II.
Manuale BAC M1/M2, autori M.O. Tatomir, M. Ganga.
BAC arhive 2010–2025 — variantele oficiale conțin sistematic ecuații de gradul II la subiectul II.

Calculatoare conexe

Ecuații exponențiale — pentru $a^{x} = b$ și transformări logaritmice.
Calculator procente — formula procentuală inversă.
Regula de trei simplă — proporții directe și inverse.
Calculator medie aritmetică — pentru calcule statistice de bază.

Despre ce este acest instrument?

Cum să folosești Calculator Ecuație de Gradul al Doilea?

Notează coeficienții

Calculează Δ

Aplică formula

Când ai nevoie de el?

Bacalaureat

Probleme cu arii

Inginerie

Despre ecuația de gradul al doilea

Ecuație de gradul II – formulă, discriminant și exemple rezolvate