Care este formula mediei aritmetice?

Media aritmetică = (suma valorilor) / (numărul de valori). Notată x̄ (x-bar) sau M.

Care este diferența între mediană și medie?

Mediana este valoarea din mijlocul șirului ordonat. Spre deosebire de medie, mediana nu este influențată de valori extreme.

Modul este valoarea care apare cel mai des. Un set poate avea un mod, mai multe (multimodal) sau niciun mod dacă toate valorile sunt unice.

Cum se calculează media ponderată a notelor?

Înmulțești fiecare notă cu numărul de credite (greutatea), aduni produsele și împarți la suma greutăților. Mod «ponderat» face asta automat.

Ce este abaterea standard?

Abaterea standard (σ) măsoară împrăștierea valorilor în jurul mediei. σ mică = valori apropiate de medie; σ mare = valori dispersate.

Calculator Medie Aritmetică, Mediană și Mod – Statistici online

Statisticile descriptive sunt instrumentele de bază pentru a rezuma un set de date. Cele 3 cele mai folosite sunt media, mediana și modul (măsuri de tendință centrală), iar pentru împrăștiere folosim varianța și abaterea standard.

Media aritmetică

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} x _{i}}{n}

Exemplu: Notele 8, 9, 7, 10, 6.

\overset{x}{ˉ} = \frac{8 + 9 + 7 + 10 + 6}{5} = \frac{40}{5} = 8

Media ponderată

Se folosește când valorile au «importanțe» diferite (greutăți):

\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} x _{i} \cdot w _{i}}{\sum _{i = 1}^{n} w _{i}}

Exemplu — media notelor cu credite:

Disciplina	Notă	Credite (w)
Matematică	9	5
Română	8	4
Istorie	10	5
Sport	7	3
Informatică	9	5

\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{9 \cdot 5 + 8 \cdot 4 + 10 \cdot 5 + 7 \cdot 3 + 9 \cdot 5}{5 + 4 + 5 + 3 + 5} = \frac{193}{22} \approx 8, 77

Mediana

Mediana este valoarea din mijlocul șirului ordonat.

Pentru n impar: mediana este valoarea de pe poziția (n+1)/2
Pentru n par: mediana este media celor două valori centrale

Exemplu (n = 5, impar): {6, 7, 8, 9, 10} → mediana = 8.

Exemplu (n = 6, par): {5, 6, 8, 9, 10, 12} → mediana = (8 + 9) / 2 = 8,5.

Când e mai bună mediana ca media?

În prezența valorilor extreme (outliers). Exemplu: salariile a 5 angajați:

2.500, 2.800, 3.000, 3.200, 30.000

Media: 8.300 RON (înșelătoare — deformată de patron)
Mediana: 3.000 RON (reflectă realitatea grupului)

Modul

Modul este valoarea care apare cel mai des în set. Un set poate fi:

Unimodal — un singur mod (ex: {1, 2, 3, 3, 4} → mod = 3)
Bimodal — două valori cu aceeași frecvență maximă
Fără mod — toate valorile sunt unice (ex: {1, 2, 3})

Modul este singura măsură de tendință centrală valabilă pentru date categorice (preferințe, voturi, mărimi de îmbrăcăminte).

Abaterea standard și varianța

Varianța σ² măsoară împrăștierea datelor în jurul mediei:

σ^{2} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Abaterea standard σ este rădăcina pătrată a varianței:

σ = σ^{2}

Exemplu: Notele {8, 9, 7, 10, 6}. Media x̄ = 8.

xᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
8	0	0
9	1	1
7	−1	1
10	2	4
6	−2	4

σ^{2} = \frac{0 + 1 + 1 + 4 + 4}{5} = 2

σ = 2 \approx 1, 41

Regula 68–95–99,7 (distribuții normale)

În distribuții apropiate de cea normală (clopot Gauss):

~68% din valori se află în x̄ ± σ
~95% se află în x̄ ± 2σ
~99,7% se află în x̄ ± 3σ

Alte tipuri de medii — geometrică, armonică, pătratică

Pe lângă media aritmetică, există încă trei „medii speciale” utile în contexte specifice.

Media geometrică

Pentru valori care se înmulțesc (rate de creștere, randamente investiționale):

\overset{x}{ˉ}_{g} = n x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}

Exemplu RO — randament BVB BET index: dacă indicele BVB BET a avut creșteri anuale de +20%, +5%, −10% în 3 ani consecutivi, randamentul mediu corect NU este media aritmetică (5%), ci media geometrică:

\overset{x}{ˉ}_{g} = 3 1, 20 \cdot 1, 05 \cdot 0, 90 - 1 = 3 1, 134 - 1 \approx 4, 28%

Regula de aur: la rate compuse (de creștere/descreștere), media aritmetică supraestimează randamentul real. Întotdeauna folosește media geometrică pentru investiții pe termen lung.

Media armonică

Pentru rate medii (viteză medie pe distanță fixă, prețuri medii pe unitate):

\overset{x}{ˉ}_{h} = \frac{n}{\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}}}

Exemplu — viteza medie București–Brașov: dute 60 km/h, întoarce-te 90 km/h. Care e viteza medie pe drum?

NU este (60+90)/2 = 75 km/h (greșeala clasică), ci media armonică:

\overset{v}{ˉ} = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{90}} = \frac{2}{\frac{3 + 2}{180}} = \frac{2 \cdot 180}{5} = 72 km/h

Media pătratică (RMS)

Folosită în fizică (curent alternativ, vibrații) și statistică:

\overset{x}{ˉ}_{q} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n}

Inegalitatea mediilor

Pentru orice valori pozitive:

\overset{x}{ˉ}_{h} \leq \overset{x}{ˉ}_{g} \leq \overset{x}{ˉ} \leq \overset{x}{ˉ}_{q}

Egalitatea are loc doar când toate valorile sunt egale. Această inegalitate apare frecvent la BAC M1, problemele de extrem.

Aplicații practice — ghid RO

Media de Bacalaureat

Cele 3 probe scrise BAC sunt:

E.a — limba și literatura română (probă comună)
E.c — proba obligatorie a profilului (matematică, istorie etc.)
E.d — proba la alegere a profilului

Media simplă:

M_{BAC} = \frac{E . a + E . c + E . d}{3}

Condiții de promovare: ≥ 5,00 la fiecare probă scrisă ȘI medie ≥ 6,00.

Cu media de admitere la facultate se poate intra inversă — facultățile importante (Politehnica, ASE, Medicină) cer 7,50–9,50.

Media de admitere la liceu (Evaluare Națională)

Pentru clasa a 8-a, formula oficială:

M_{adm} = 0, 2 \cdot M_{absolvire} + 0, 8 \cdot M_{EN}

unde $M_{absolvire}$ = media generală de absolvire clasele V–VIII, iar $M_{EN}$ = media probelor scrise (română + matematică).

Exemplu: elev cu media de absolvire 9,20 și media EN 8,75:

M_{adm} = 0, 2 \cdot 9, 20 + 0, 8 \cdot 8, 75 = 1, 84 + 7, 00 = 8, 84

Media notelor pe an școlar (clasa V–XII)

Media anuală la o materie:

M_{anual \overset{a}{˘}} = \frac{tez a ˘ + media oral a ˘}{2}

unde media orală este aritmetica simplă a notelor din carnet (≥ 2 note minim).

Regulă de rotunjire în RO: până la 5,49 → coborâre; ≥ 5,50 → urcare. Deci 5,49 = 5, dar 5,50 = 6 (la nivelul mediei anuale; la calcule intermediare păstrează zecimalele).

Statistici de salariu — INS și echipe

În INS (Institutul Național de Statistică) se publică lunar:

Salariul mediu net (medie aritmetică) — mai 2025: ~5 600 RON.
Salariul median — ~4 800 RON (mai mic decât media).

Diferența reflectă inegalitatea: 25% dintre angajați câștigă peste medie tocmai pentru că salariile mari ridică media. Mediana e indicatorul mai „onest” pentru cetățeanul tipic.

Pentru manageri de echipă:

Media e utilă pentru buget total (n × medie = total payroll).
Mediana e utilă pentru echitate (cum stă angajatul tipic).
σ (abaterea standard) indică dispersia — σ mare = inegalități mari în echipă.

Analiză de risc financiar — BVB

Pentru un fond de investiții (FNI Erste Bond, Cititi mai mult):

Randament mediu anual = media aritmetică a randamentelor (sau geometrică pentru perioade lungi).
Volatilitate = σ a randamentelor.
Sharpe Ratio = $(R - R_{f}) / σ$ , unde $R_{f}$ = rata fără risc (titluri de stat RO ~6%).

Exemplu: un fond cu randament mediu 10% și σ = 8%, pe o piață cu $R_{f}$ = 6%:

Sharpe = \frac{10 - 6}{8} = 0, 5

Sharpe > 1 = excelent, 0,5–1 = acceptabil, < 0,5 = slab raport randament/risc.

Vremea & climatologia ANM

Administrația Națională de Meteorologie (ANM) publică temperaturi medii lunare și anuale folosind media aritmetică:

T_{lunar \overset{a}{˘}} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n T_{i}

unde $T_{i}$ = temperatura medie zilnică, iar $n$ = numărul zilelor din lună.

Temperatura medie București pe ianuarie: ~−1°C; pe iulie: ~+24°C. Diferența ~25°C reflectă climatul temperat continental al Câmpiei Române.

Sport — medii liga 1, fotbal, baschet

Mediile sportive sunt simple:

Goluri/meci (FCSB sezon 2024-25): goluri marcate / meciuri jucate.
Procent reușită (NBA, baschet RO): coșuri reușite / aruncări totale × 100.
Average de baseball/cricket: hits / at-bats.

Exemple rezolvate pas cu pas

Exemplul 1 — Media simplă cu rotunjire

Notele unui elev la matematică în semestrul I: 7, 8, 9, 6, 8, 9. Media?

Sumă: 7+8+9+6+8+9 = 47.
Numărul notelor: 6.
Media: 47/6 = 7,8333…
Răspuns: 7,83 (cu 2 zecimale) sau 8 (rotunjit la întreg, regula RO ≥ 5,50).

Exemplul 2 — Media ponderată cu credite ECTS

Sesiunea de iarnă, anul I la ASE:

Materie	Notă	Credite (ECTS)
Microeconomie	9	6
Matematici	8	5
Engleză	10	3
Drept	7	4
Statistică	8	5

Suma ponderată: $9 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 8 \cdot 5 = 54 + 40 + 30 + 28 + 40 = 192$ .
Total credite: $6 + 5 + 3 + 4 + 5 = 23$ .
Medie ponderată: $192/23 = 8, 35$ .

Notă: la ASE/UB/UPB, ordinea pentru burse se face după media ponderată cu credite, NU după media aritmetică simplă. Vezi regulamentul facultății.

Exemplul 3 — Mediana cu n par

Salariile a 6 angajați (în RON): 3 500, 4 200, 5 800, 4 800, 25 000, 4 100.

Sortare: 3 500, 4 100, 4 200, 4 800, 5 800, 25 000.
Cele 2 valori centrale (poziții 3 și 4): 4 200 și 4 800.
Mediana: $(4200 + 4800) /2 = 4500$ RON.
Media (pentru comparație): $47 400/6 = 7900$ RON.

Concluzie: outlier-ul (25 000) deformează media; mediana (4 500) reflectă mai onest realitatea.

Exemplul 4 — Abaterea standard pas cu pas

Datele: 4, 8, 6, 5, 3.

Media: $(4 + 8 + 6 + 5 + 3) /5 = 26/5 = 5, 2$ .
Abateri: $- 1, 2, + 2, 8, + 0, 8, - 0, 2, - 2, 2$ .
Pătratele abaterilor: $1, 44, 7, 84, 0, 64, 0, 04, 4, 84$ .
Suma pătratelor: $14, 80$ .
Varianță: $14, 80/5 = 2, 96$ .
Abatere standard: $2, 96 \approx 1, 72$ .

Exemplul 5 — Mod multimodal

Mărimi de încălțăminte la o probă în magazin: 38, 39, 40, 39, 41, 38, 42, 40, 38.

Frecvențe: 38 apare de 3 ori; 39 de 2; 40 de 2; 41 și 42 — câte 1. Răspuns: mod = 38.

Variantă populațională vs. eșantion

Există două formule pentru abaterea standard, în funcție de ce calculezi:

Populația întreagă (σ — sigma)

σ = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

Folosit când ai TOATE datele unui grup închis (ex. notele din TOATĂ clasa, salariile din TOATĂ firma).

Eșantion (s)

s = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

Folosit când ai doar un EȘANTION dintr-o populație mai mare (sondaje, studii). Împărțirea cu $n - 1$ (corecția lui Bessel) compensează subestimarea statistică.

În practică: la BAC și în statistica descriptivă școlară RO se folosește varianta cu $n$ (populație). În cercetare științifică și sondaje folosește $n - 1$ (eșantion). Calculatorul nostru folosește $n$ (populație) implicit.

Distribuția normală și regula 68–95–99,7

În distribuții apropiate de clopotul Gauss, valorile se distribuie astfel în jurul mediei:

Interval	% din valori
$\overset{x}{ˉ} \pm 1 σ$	~68%
$\overset{x}{ˉ} \pm 2 σ$	~95%
$\overset{x}{ˉ} \pm 3 σ$	~99,7%

Aplicație — IQ: distribuția IQ are media 100 și σ = 15.

68% din populație: IQ între 85 și 115.
95%: IQ între 70 și 130.
99,7%: IQ între 55 și 145.

Aplicație — înălțimea bărbaților RO: medie ~177 cm, σ ~ 7 cm.

68% au între 170 și 184 cm.
95% au între 163 și 191 cm.

Tabel rapid de comparație

Măsura	Formulă	Sensibilă la outliers?	Pentru date numerice?	Pentru date categorice?
Medie aritmetică	$\sum x_{i} / n$	DA (puternic)	DA	NU
Medie geometrică	$n \prod x_{i}$	Mediu	DA (pozitive)	NU
Medie armonică	$n / \sum (1/ x_{i})$	Da, invers	DA (pozitive)	NU
Mediană	mijlocul șirului ordonat	NU	DA	DA (ordonale)
Mod	valoarea cea mai frecventă	NU	DA	DA
Amplitudine $R$	max − min	DA (extrem)	DA	NU
Varianță σ²	$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} / n$	DA	DA	NU
Abatere stand. σ	$σ^{2}$	DA	DA	NU

Greșeli frecvente

Confuzia medie ↔ mediană la prezența outlier-ilor. „Salariul mediu RO este 5 600 RON” NU înseamnă că „jumătate câștigă peste 5 600”. Pentru asta vezi mediana (~4 800).
Media procentelor cu baze diferite — vezi capitolul medie ponderată.
Media unor rate de creștere cu media aritmetică — folosește geometrică.
Neglijarea valorilor extreme — outlier-ii pot fi erori (deci se elimină) sau cazuri reale rare (deci se păstrează). Întotdeauna investighează.
Rotunjire prematură — la calcule cu mai multe etape, păstrează 4–5 zecimale și rotunjește doar la final.
Confuzie σ vs. σ² — varianța (σ²) e în unități pătrate, abaterea (σ) în unități originale. Pentru raport „media ± dispersie” folosește σ.

Surse și referințe

INS – Salariul mediu și median RO — date oficiale.
Statistica descriptivă – Wikipedia — concepte fundamentale.
Programa BAC RO — clasa a IX-a și a X-a, capitolul „Statistică”.

Calculatoare conexe

Calculator procente — pentru a converti notele/punctajele în procente.
Regula de trei simplă — proporții directe folosite la medie ponderată.
Calculator IMC — exemple de medie pentru greutate sănătoasă.
Calculator dobândă compusă — folosește media geometrică pentru randament.

Despre ce este acest instrument?

Cum să folosești Calculator Medie Aritmetică & Statistici?

Introdu seria de valori

Alege modul

Citește statisticile

Când ai nevoie de el?

Media de bacalaureat

Salariu mediu echipă

Cercetare școlară

Analize financiare

Despre statisticile descriptive

Medie aritmetică, mediană și mod – formule și calculator online