Probleme de matematică – Clasa a X-a

1. Scriem membrul drept ca putere a lui 2: 32 = 2⁵.
2. Ecuația devine 2ˣ = 2⁵.
3. Bazele fiind egale, egalăm exponenții: x = 5.

Răspuns: x = 5

1. Scriem 27 ca putere a lui 3: 27 = 3³.
2. 3^(x+1) = 3³ ⇒ x + 1 = 3.
3. x = 2.

Răspuns: x = 2

1. log₂ 8: la ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8? 2³ = 8, deci log₂ 8 = 3.
2. log₃ 9: 3² = 9, deci log₃ 9 = 2.
3. Suma: 3 + 2 = 5.

Răspuns: 5

1. Trecem la forma exponențială: x = 2⁵.
2. x = 32.

Răspuns: x = 32

1. Proprietatea logaritmului: log a + log b = log(a · b).
2. log 2 + log 5 = log(2 · 5) = log 10 = 1.

Răspuns: 1

1. Ordinea nu contează → folosim combinări: $C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}$.
2. $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15$.

Răspuns: 15 moduri

1. Ordinea contează și folosim toate persoanele → permutări de 4.
2. $P_4=4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$.

Răspuns: 24 de moduri

1. Ordinea contează, cifrele sunt distincte → aranjamente de 5 luate câte 3.
2. $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$.

Răspuns: 60 de numere

1. Cazuri favorabile (numere pare): {2, 4, 6} → 3 cazuri.
2. Cazuri posibile: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 cazuri.
3. P = cazuri favorabile / cazuri posibile = 3/6 = 1/2.

Răspuns: 1/2 (adică 50%)

1. Cazuri favorabile (bile roșii): 5. Cazuri posibile (total bile): 5 + 3 = 8.
2. P = 5/8.

Răspuns: 5/8

1. Modulul: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
2. Conjugatul se obține schimbând semnul părții imaginare: z̄ = 3 − 4i.

Răspuns: |z| = 5; z̄ = 3 − 4i

1. Suma (adunăm părțile reale și cele imaginare): (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i.
2. Produsul: 2·1 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i − 3·(−1).
3. Cum i² = −1: 2 + i + 3 = 5 + i.

Răspuns: 3 + 2i; respectiv 5 + i

1. Produsul radicalilor: √3 · √12 = √(3 · 12) = √36.
2. √36 = 6.

Răspuns: 6