Probleme de matematică – Clasa a IX-a

Primul an de liceu — funcții, gradul II, vectori și trigonometrie.

Liceu 13 probleme rezolvate

Clasa a IX-a deschide ciclul liceal și ridică nivelul de abstractizare: mulțimi și funcții (injectivitate, monotonie), funcția de gradul II cu parabola ei, ecuații și inecuații, vectori în plan, elemente de trigonometrie și geometrie analitică.

Este anul care face trecerea de la geometria „cu figuri” la geometria „cu coordonate” și de la calculul numeric la gândirea funcțională. Problemele de mai jos exersează capitolele centrale ale programei de clasa a IX-a.

📚 Teme (7) · Clasa a IX-a

✏️ Probleme rezolvate pe teme

Funcția de gradul II 2 probleme

  1. Mediu

    Aflați coordonatele vârfului parabolei f(x) = x² − 4x + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Identificăm coeficienții: a = 1, b = −4, c = 3.
    2. Abscisa vârfului: .
    3. Ordonata: y_V = f(2) = 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
    4. Vârful parabolei este V(2 ; −1).

    Răspuns: V(2 ; −1)

  2. Dificil

    Aflați rădăcinile funcției f(x) = x² − x − 6 și intervalul pe care funcția este negativă.

    Vezi rezolvarea
    1. Discriminantul: Δ = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25.
    2. Rădăcinile: x = (1 ± 5)/2, deci x₁ = 3 și x₂ = −2.
    3. Cum a = 1 > 0, funcția este negativă între rădăcini: x ∈ (−2, 3).

    Răspuns: rădăcini −2 și 3; negativă pe (−2, 3)

Ecuația de gradul II 2 probleme

  1. Mediu

    Rezolvați ecuația: x² − 5x + 6 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm discriminantul: .
    2. Aplicăm formula: .
    3. x₁ = (5 + 1)/2 = 3 și x₂ = (5 − 1)/2 = 2.

    Răspuns: x₁ = 3, x₂ = 2

  2. Mediu

    Rezolvați ecuația: x² = 5x.

    Vezi rezolvarea
    1. Aducem toți termenii în stânga: x² − 5x = 0.
    2. Dăm factor comun: x(x − 5) = 0.
    3. Un produs este 0 dacă un factor este 0: x = 0 sau x = 5.

    Răspuns: x₁ = 0, x₂ = 5

Trigonometrie 2 probleme

  1. Mediu

    Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza este 12 cm. Aflați cateta opusă acestui unghi.

    Vezi rezolvarea
    1. Sinusul unghiului = cateta opusă / ipotenuză, deci cateta opusă = ipotenuză · sin(unghi).
    2. sin(30°) = 1/2.
    3. Cateta opusă = 12 · (1/2) = 6 cm.

    Răspuns: 6 cm

  2. Mediu

    Calculați: sin 30° + cos 60° + tg 45°.

    Vezi rezolvarea
    1. Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, tg 45° = 1.
    2. Suma: 1/2 + 1/2 + 1 = 2.

    Răspuns: 2

Vectori 2 probleme

  1. Dificil

    Se dau vectorii u = (2, 3) și v = (−1, 4). Calculați u + v și 2u − v.

    Vezi rezolvarea
    1. Adunarea se face pe componente: u + v = (2 + (−1) , 3 + 4) = (1 , 7).
    2. Înmulțim u cu scalarul 2: 2u = (4 , 6).
    3. Scădem: 2u − v = (4 − (−1) , 6 − 4) = (5 , 2).

    Răspuns: u + v = (1, 7); 2u − v = (5, 2)

  2. Mediu

    Aflați lungimea (modulul) vectorului v = (3, −4).

    Vezi rezolvarea
    1. Modulul unui vector: .
    2. .

    Răspuns: |v| = 5

Geometrie analitică 2 probleme

  1. Mediu

    Se dau punctele A(1, 2) și B(7, 10). Aflați mijlocul segmentului AB și lungimea AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Mijlocul: .
    2. Distanța: .
    3. AB = √(36 + 64) = √100 = 10.

    Răspuns: M(4, 6); AB = 10

  2. Dificil

    Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A(0, 1) și B(2, 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Panta dreptei: m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) = (5 − 1)/(2 − 0) = 4/2 = 2.
    2. Ecuația are forma y = mx + n. Din A(0, 1): 1 = 2·0 + n, deci n = 1.
    3. Ecuația dreptei: y = 2x + 1.

    Răspuns: y = 2x + 1

Inecuații de gradul II 1 problemă

  1. Dificil

    Rezolvați inecuația: x² − 4 < 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Aflăm rădăcinile ecuației atașate x² − 4 = 0: (x − 2)(x + 2) = 0, deci x = −2 și x = 2.
    2. Coeficientul lui x² este pozitiv, deci parabola este „deschisă în sus”: expresia este negativă între rădăcini.
    3. Soluția inecuației este intervalul (−2, 2).

    Răspuns: x ∈ (−2, 2)

Mulțimi și funcții 2 probleme

  1. Mediu

    Fie A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5, 6}. Aflați A ∩ B și A ∪ B.

    Vezi rezolvarea
    1. Intersecția A ∩ B conține elementele comune: {3, 4}.
    2. Reuniunea A ∪ B conține toate elementele (fără repetare): {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    Răspuns: A ∩ B = {3, 4}; A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  2. Mediu

    Fie f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 1. Aflați funcția inversă f⁻¹.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm y = 3x + 1 și exprimăm x în funcție de y.
    2. 3x = y − 1, deci x = (y − 1)/3.
    3. Schimbând notația: f⁻¹(x) = (x − 1)/3.

    Răspuns: f⁻¹(x) = (x − 1)/3

❓ Întrebări frecvente – Clasa a IX-a