Studiul funcțiilor – Clasa a XI-a

✏️ Probleme rezolvate

1. 1 Dificil

   Aflați punctul de extrem al funcției f(x) = x² − 6x + 5.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm derivata: f ′(x) = 2x − 6.
   2. Punctele critice: f ′(x) = 0 → 2x − 6 = 0 → x = 3.
   3. Derivata a doua f ″(x) = 2 > 0, deci în x = 3 avem un punct de minim.
   4. Valoarea minimă: f(3) = 3² − 6·3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4.

   Răspuns: punct de minim în (3 ; −4)

2. 2 Mediu

   Studiați monotonia funcției f(x) = x² − 4x folosind derivata.

   Vezi rezolvarea

   1. f ′(x) = 2x − 4.
   2. f ′(x) = 0 ⇒ x = 2.
   3. Pentru x < 2, f ′(x) < 0 (descrescătoare); pentru x > 2, f ′(x) > 0 (crescătoare).

   Răspuns: descrescătoare pe (−∞, 2), crescătoare pe (2, ∞)

3. 3 Dificil

   Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției f(x) = x³ − 3x.

   Vezi rezolvarea

   1. Prima derivată: f ′(x) = 3x² − 3. A doua derivată: f ″(x) = 6x.
   2. f ″(x) = 0 ⇒ x = 0.
   3. Pentru x < 0, f ″ < 0 → concavă; pentru x > 0, f ″ > 0 → convexă. Punct de inflexiune în x = 0.

   Răspuns: concavă pe (−∞, 0), convexă pe (0, ∞); inflexiune în 0